Con parámetro: calcula $|A|$, halla sus raíces y estudia cada valor por separado.
En problemas de contexto, define las incógnitas con sus unidades.
Trampas habituales
Concluir sin calcular los dos rangos.
Olvidar el caso general ($|A|\ne0$).
Ejemplo resuelto
$|A|=(a-3)(a+1)$: si $a\notin\{3, -1\}$, SCD; luego se estudian $a=3$ y $a=-1$.
Preguntas de ejemplo
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Pregunta 1
Dificultad fácil≈ 18 min
(2 puntos, competencial) En la cafetería de un instituto se registran tres pedidos. Pedido 1: 2 bocadillos, 1 zumo y 1 pieza de fruta por 6,10 €. Pedido 2: 1 bocadillo, 2 zumos y 1 fruta por 5,10 €. Pedido 3: 1 bocadillo, 1 zumo y 3 frutas por 4,90 €.
a) (1,2 puntos) Plantee un sistema de ecuaciones y calcule el precio de cada producto.
b) (0,8 puntos) Si el tercer pedido se hubiera sustituido por otro de 3 bocadillos, 3 zumos y 2 frutas por 11,20 €, ¿se podrían conocer los precios? Justifíquelo.
2 puntos.
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Solución
a) Sean $b$, $z$ y $f$ los precios (€) de bocadillo, zumo y fruta: $$\begin{cases} 2b+z+f=6{,}10 \\ b+2z+f=5{,}10 \\ b+z+3f=4{,}90 \end{cases}$$ Restando la segunda a la primera: $b-z=1$. Restando la tercera a la segunda: $z-2f=0{,}20$. Con $b=z+1$ y $f=\frac{z-0{,}20}{2}$ en la segunda: $z+1+2z+\frac{z-0{,}20}{2}=5{,}10\Rightarrow 7z=8{,}40\Rightarrow z=1{,}20$. Así $b=2{,}20$ € y $f=0{,}50$ €.
b) El nuevo pedido es la suma de los dos primeros ($3b+3z+2f$ con $6{,}10+5{,}10=11{,}20$). La matriz de coeficientes $\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\3&3&2\end{pmatrix}$ tiene determinante 0 y rango 2, igual que la ampliada: el sistema sería compatible indeterminado y no se podrían conocer los precios (habría infinitas soluciones).
Criterios de corrección
a) Planteamiento (0,5), resolución (0,5) y precios con unidades (0,2).
b) Detectar la dependencia o calcular el determinante nulo (0,4) y concluir SCI con rangos (0,4).
Explicación
Un problema de contexto se puntúa sobre todo por el planteamiento. En b) la ecuación nueva no aporta información: es combinación lineal de las otras dos, por eso el rango baja a 2.
Pregunta 2
Dificultad media≈ 23 min
Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro real $a$:
a) (1,5 puntos) Discutir el sistema según los valores de $a$.
b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para $a=-1$.
c) (0,5 puntos) Resolver el sistema para $a=0$.
2,5 puntos.
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Solución
a) Matriz de coeficientes ($A'$ es la matriz ampliada): $$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$$ $|A|=1\cdot(a2-1)-(-1)\cdot(-a-1)+1\cdot(-1-a)=a2-1-a-1-1-a=a2-2a-3=(a-3)(a+1)$. • Si $a\ne3$ y $a\ne-1$: $\operatorname{rg}(A)=3=\operatorname{rg}(A')$ = nº de incógnitas → sistema compatible determinado (SCD). • Si $a=-1$: las ecuaciones son $x-y+z=1$, $-x-y+z=-1$, $x+y-z=1$. La tercera es la segunda multiplicada por $-1$ (también el término independiente), y las dos primeras no son proporcionales. $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A')=2<3$ → sistema compatible indeterminado (SCI). • Si $a=3$: filas de $A$: $(1, -1, 1)$, $(-1, 3, 1)$, $(1, 1, 3)$. La tercera es 2·(1.ª) + (2.ª), pero con los términos independientes $2\cdot1+3=5\ne1$. Por tanto, $\operatorname{rg}(A)=2$ y $\operatorname{rg}(A')=3$ → sistema incompatible (SI).
b) $a=-1$: restando la 2.ª ecuación de la 1.ª: $2x=2$ → $x=1$. Entonces $-y+z=0$ → $y=z$. Soluciones: $(x, y, z)=(1, \lambda, \lambda)$, $\lambda\in\mathbb{R}$.
c) $a=0$: $x-y+z=1$; $-x+z=0$; $x+y=1$. De la 2.ª, $z=x$; de la 3.ª, $y=1-x$. Sustituyendo en la 1.ª: $x-(1-x)+x=1$ → $3x=2$ → $x=\frac{2}{3}$. Solución única: $(x, y, z)=\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$.
Criterios de corrección
a) Determinante correcto y valores críticos $a=3$ y $a=-1$ (0,25).
a) Caso general SCD bien justificado (0,25); caso $a=-1$ SCI con rangos (0,5); caso $a=3$ SI con rangos (0,5).
b) Solución paramétrica correcta (0,5).
c) Solución correcta (0,5); se admite cualquier método (Cramer, Gauss, sustitución).
Las conclusiones sin cálculo de rangos o sin argumento equivalente no puntúan.
Explicación
La clave es el teorema de Rouché-Frobenius: comparar $\operatorname{rg}(A)$ y $\operatorname{rg}(A')$ con el número de incógnitas. Para $a=3$ los coeficientes cumplen $F3=2F1+F2$, pero los términos independientes no, y ahí nace la incompatibilidad.
Pregunta 3
Dificultad difícil≈ 23 min
(Pregunta competencial) Ana, Blas y Carla compran en la misma papelería cuadernos, bolígrafos y carpetas, todos del mismo modelo y al mismo precio. Ana compra 2 cuadernos, 3 bolígrafos y 1 carpeta y paga 12 €. Blas compra 1 cuaderno, 2 bolígrafos y 2 carpetas y paga 11 €. Carla compra 3 cuadernos, 5 bolígrafos y 3 carpetas y paga 23 €.
a) (1 punto) Plantear un sistema de ecuaciones y justificar que con estos datos no se pueden determinar los precios.
b) (0,75 puntos) Elena compra 5 cuadernos, 8 bolígrafos y 4 carpetas. ¿Se puede saber cuánto paga? Justificar la respuesta.
c) (0,75 puntos) Sabiendo que todos los precios son positivos, determinar entre qué valores está el precio de una carpeta. Si la carpeta cuesta 3 €, ¿cuánto cuestan un cuaderno y un bolígrafo?
2,5 puntos.
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Solución
a) Sean $x$, $y$, $z$ los precios (en €) de un cuaderno, un bolígrafo y una carpeta: $2x+3y+z=12$ $x+2y+2z=11$ $3x+5y+3z=23$ La tercera ecuación es la suma de las dos primeras (también $12+11=23$), y las dos primeras no son proporcionales. Así, $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A')=2<3$ ($A'$ = matriz ampliada): sistema compatible indeterminado. Hay infinitas soluciones y no se pueden determinar los precios.
b) Tomando $z=\lambda$ y resolviendo las dos primeras ecuaciones: $2x+3y=12-\lambda$ y $x+2y=11-2\lambda$, se obtiene $y=10-3\lambda$ y $x=4\lambda-9$. Gasto de Elena: $5x+8y+4z=5(4\lambda-9)+8(10-3\lambda)+4\lambda=20\lambda-45+80-24\lambda+4\lambda=35$. No depende de $\lambda$: Elena paga 35 € seguro. (Equivalentemente, su compra es 2·(compra de Ana) + (compra de Blas): $2\cdot12+11=35$.)
c) $x=4\lambda-9>0$ → $\lambda>\frac{9}{4}=2{,}25$; $y=10-3\lambda>0$ → $\lambda<\frac{10}{3}\approx3{,}33$; $z=\lambda>0$. Por tanto, el precio de la carpeta está entre 2,25 € y 3,33 €: $\frac{9}{4}<z<\frac{10}{3}$. Si $z=3$: $x=4\cdot3-9=3$ € (cuaderno) e $y=10-9=1$ € (bolígrafo). Comprobación: Ana $6+3+3=12$; Blas $3+2+6=11$.
Criterios de corrección
a) Planteamiento correcto (0,5) y justificación de la indeterminación mediante rangos o dependencia lineal (0,5).
b) Solución general en función de un parámetro o combinación lineal adecuada (0,4) y conclusión de 35 € justificada (0,35).
c) Intervalo $\frac{9}{4}<z<\frac{10}{3}$ (0,5) y precios para $z=3$ (0,25).
Responder «no se puede saber» en b) sin comprobarlo: 0 puntos en b).
Explicación
Un sistema indeterminado no impide calcular TODO: cualquier combinación lineal de las ecuaciones conocidas tiene un valor fijo. La compra de Elena es 2·Ana + Blas; por eso su precio está determinado aunque los precios individuales no lo estén.