(2 puntos) Sean $A$ y $B$ dos sucesos con $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}4$ y $P(A\cup B)=0{,}7$.
a) (1 punto) Calcule $P(A\cap B)$ y razone si $A$ y $B$ son independientes y si son incompatibles.
b) (1 punto) Calcule $P(A\mid\overline{B})$ y $P(\overline{A}\cup\overline{B})$.
2 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0{,}5+0{,}4-0{,}7=0{,}2$. - $P(A)\cdot P(B)=0{,}2=P(A\cap B)$: son independientes. - $P(A\cap B)\ne0$: no son incompatibles.
b) $P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0{,}3$ y $P(\overline{B})=0{,}6$, así que $P(A\mid\overline{B})=\frac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5$ (igual que $P(A)$, como corresponde a sucesos independientes). Por las leyes de De Morgan: $P(\overline{A}\cup\overline{B})=P\left(\overline{A\cap B}\right)=1-0{,}2=0{,}8$.
Criterios de corrección
a) $P(A\cap B)=0{,}2$ (0,4); independencia (0,3) e incompatibilidad (0,3) razonadas.
b) $P(A\mid\overline{B})=0{,}5$ (0,5) y $P(\overline{A}\cup\overline{B})=0{,}8$ con De Morgan (0,5).
Explicación
Independientes ($P(A\cap B)=P(A)P(B)$) e incompatibles ($A\cap B=\varnothing$) no son lo mismo: dos sucesos con probabilidad positiva no pueden ser las dos cosas a la vez.
Pregunta 2
Dificultad fácil≈ 18 min
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio con $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ y $P(A\cup B)=0{,}7$.
a) (0,75 puntos) Calcular $P(A\cap B)$ y estudiar si $A$ y $B$ son independientes.
b) (0,5 puntos) Calcular $P(A\mid \bar{B})$, donde $\bar{B}$ es el suceso contrario de $B$.
c) (0,5 puntos) Calcular la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.
d) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad de que ocurra exactamente uno de los dos sucesos.
2,5 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0{,}4+0{,}5-0{,}7=0{,}2$. $P(A)\cdot P(B)=0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2=P(A\cap B)$ → $A$ y $B$ son independientes.
b) $P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)=0{,}4-0{,}2=0{,}2$; $P(\bar{B})=0{,}5$. $P(A\mid \bar{B})=\frac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4$ (igual a $P(A)$, como corresponde a sucesos independientes).
c) $P(\bar{A}\cap \bar{B})=1-P(A\cup B)=1-0{,}7=0{,}3$ (leyes de De Morgan).
a) $P(A\cap B)$ (0,4) y justificación de la independencia (0,35).
b) Probabilidad condicionada correcta (0,5).
c) Uso de De Morgan o del complementario (0,5).
d) Resultado 0,5 razonado (0,75).
Explicación
Dos sucesos son independientes si $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. «Ninguno» es el contrario de «al menos uno» (De Morgan), y «exactamente uno» es la unión menos la intersección.
Pregunta 3
Dificultad media≈ 20 min
(Pregunta competencial) Una enfermedad afecta al 2 % de la población. Una prueba de detección da positivo en el 95 % de las personas enfermas y en el 10 % de las personas sanas.
a) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar dé positivo.
b) (1 punto) Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esté enferma? Comentar el resultado.
c) (0,75 puntos) Si una persona da negativo, ¿cuál es la probabilidad de que esté enferma?
a) Probabilidad total: $P(+)=0{,}02\cdot0{,}95+0{,}98\cdot0{,}10=0{,}019+0{,}098=0{,}117$.
b) Teorema de Bayes: $P(E\mid +)=\dfrac{P(E)\cdot P(+\mid E)}{P(+)}=\dfrac{0{,}019}{0{,}117}\approx 0{,}1624$. Solo alrededor del 16 % de los positivos están realmente enfermos: como la enfermedad es poco frecuente, la mayoría de los positivos proceden del 10 % de falsos positivos entre los muchos sanos. Un positivo exige una prueba de confirmación.
c) $P(-)=1-0{,}117=0{,}883$. $P(-\mid E)=0{,}05$. $P(E\mid -)=\frac{0{,}02\cdot0{,}05}{0{,}883}=\frac{0{,}001}{0{,}883}\approx0{,}0011$.
Criterios de corrección
a) Planteamiento con probabilidad total (diagrama de árbol o tabla) (0,5) y resultado (0,25).
b) Aplicación del teorema de Bayes (0,5), resultado (0,25) e interpretación razonada (0,25).
c) $P(-)$ y $P(-\mid E)$ correctos (0,4) y resultado (0,35).
Explicación
Error frecuente: pensar que $P(E\mid +)=0{,}95$. El 95 % es $P(+\mid E)$. Como hay 49 personas sanas por cada enferma, los falsos positivos superan a los verdaderos y la probabilidad real es de solo ≈ 16 %.