a) (1 punto) Demuestre que la ecuación $f(x)=0$ tiene exactamente una solución real y que esta está en el intervalo $(0,1)$.
b) (1 punto) Compruebe que $f$ cumple las hipótesis del teorema del valor medio en $[0,2]$ y halle el punto $c$ que garantiza.
2 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) $f$ es polinómica, luego continua en $[0,1]$; $f(0)=-2<0$ y $f(1)=2>0$. Por el teorema de Bolzano existe $c\in(0,1)$ con $f(c)=0$. Unicidad: $f'(x)=3x2+3>0$ para todo $x$, así que $f$ es estrictamente creciente y solo puede cortar al eje una vez (si hubiera dos raíces, por el teorema de Rolle $f'$ se anularía entre ellas).
b) $f$ es continua en $[0,2]$ y derivable en $(0,2)$ (polinómica). Existe $c\in(0,2)$ con $$f'(c)=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{12-(-2)}{2}=7$$ $3c2+3=7\Rightarrow c2=\frac{4}{3}\Rightarrow c=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx1{,}155\in(0,2)$ (la raíz negativa no está en el intervalo).
Criterios de corrección
a) Hipótesis y aplicación de Bolzano (0,5); unicidad con $f'>0$ o Rolle (0,5).
b) Hipótesis del TVM (0,3), ecuación $f'(c)=7$ (0,4) y $c=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ descartando la negativa (0,3).
Explicación
Bolzano da existencia, no unicidad: para «exactamente una» hace falta la monotonía. En el TVM hay que comprobar que el $c$ obtenido está dentro del intervalo.
Pregunta 2
Dificultad media≈ 23 min
Se considera la función $f(x)=\frac{x2+3}{x-1}$.
a) (1 punto) Hallar su dominio y sus asíntotas.
b) (1 punto) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.
c) (0,5 puntos) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=2$.
2,5 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) Dominio: $\mathbb{R}-\{1\}$. Asíntota vertical $x=1$: $\limx\to 1-f=-\infty$ y $\limx\to 1+f=+\infty$ (numerador → 4). No hay asíntotas horizontales (el grado del numerador supera al del denominador). Asíntota oblicua $y=mx+n$: $m=\lim \frac{f(x)}{x}=1$; $n=\lim (f(x)-x)=\lim \frac{x+3}{x-1}=1$. Asíntota oblicua $y=x+1$ (en $+\infty$ y en $-\infty$). De hecho, $f(x)=x+1+\frac{4}{x-1}$.
b) $f'(x)=\frac{[2x(x-1)-(x2+3)]}{(x-1)2}=\frac{x2-2x-3}{(x-1)2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)2}$. El denominador es positivo; el signo lo da $(x-3)(x+1)$: • $(-\infty, -1)$: $f'>0$, creciente. • $(-1, 1)$ y $(1, 3)$: $f'<0$, decreciente. • $(3, +\infty)$: $f'>0$, creciente. Máximo relativo en $(-1, f(-1))=(-1, -2)$; mínimo relativo en $(3, f(3))=(3, 6)$.
c) $f(2)=\frac{7}{1}=7$; $f'(2)=\frac{4-4-3}{1}=-3$. Tangente: $y-7=-3(x-2)$, es decir, $y=-3x+13$.
Criterios de corrección
a) Dominio (0,25), asíntota vertical con límites laterales (0,25), asíntota oblicua con cálculo de $m$ y $n$ (0,5).
b) Derivada correcta (0,4), estudio del signo excluyendo $x=1$ (0,3) y extremos con sus ordenadas (0,3).
c) Pendiente y punto (0,25) y ecuación (0,25).
Si la derivada es incorrecta, se valora la coherencia del resto con un máximo de 0,5 en b).
Explicación
Observa que el máximo relativo $(-1, -2)$ está por debajo del mínimo relativo $(3, 6)$: no es contradictorio porque $x=1$ separa dos ramas. No incluir $x=1$ en los intervalos es un error habitual.
Pregunta 3
Dificultad media≈ 20 min
(Pregunta competencial) Una empresa quiere vallar un terreno rectangular de $1200\ \text{m}2$ situado junto a un río. El lado que da al río no necesita valla. El lado opuesto al río se valla con un material que cuesta 12 € por metro, y los otros dos lados, con uno que cuesta 8 € por metro.
a) (1 punto) Expresar el coste de la valla en función de la longitud $x$ (en metros) del lado paralelo al río.
b) (1,5 puntos) Hallar las dimensiones del terreno que hacen mínimo el coste y calcular dicho coste mínimo. Justificar que se trata de un mínimo.
2,5 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) Sean $x$ la longitud del lado paralelo al río e $y$ la de cada lado perpendicular (en m). Área: $x\cdot y=1200$ → $y=\frac{1200}{x}$. Coste: $C=12x+8\cdot2y=12x+16y=12x+\frac{19200}{x}$, con $x>0$.
b) $C'(x)=12-\frac{19200}{x2}$. $C'(x)=0$ → $x2=1600$ → $x=40$ (se descarta $-40$ por ser una longitud). $C''(x)=\frac{38400}{x3}>0$ para $x>0$, luego en $x=40$ hay un mínimo (también: $C'<0$ en $(0, 40)$ y $C'>0$ en $(40, +\infty)$). Dimensiones: $x=40$ m (paralelo al río) e $y=\frac{1200}{40}=30$ m. Coste mínimo: $C(40)=12\cdot40+\frac{19200}{40}=480+480=960$ €.
Criterios de corrección
a) Relación del área (0,25) y función de coste correcta de una variable (0,75).
b) Derivada e igualación a cero (0,5); $x=40$ descartando la raíz negativa (0,25); justificación de mínimo (0,25); dimensiones (0,25) y coste de 960 € (0,25).
Si en a) se valla también el lado del río, se corrige $b$) de forma coherente con un máximo de 1 punto.
Explicación
El lado del río no se valla, así que el coste solo incluye un lado de $x$ metros (12 €/m) y dos de $y$ metros (8 €/m). Con $y=\frac{1200}{x}$ queda $C(x)=12x+\frac{19200}{x}$, cuyo mínimo está en $x=40$.