Operaciones con matrices, potencias, inversa, ecuaciones matriciales y propiedades de los determinantes.
Claves
$A$ es invertible si y solo si $|A|\ne 0$. $A-1=\frac{1}{|A|}(\operatorname{Adj}A)t$.
En orden $n$: $|kA|=kn|A|$, $|AB|=|A||B|$, $|At|=|A|$, $|A-1|=\frac{1}{|A|}$.
El producto de matrices no es conmutativo: $AB\ne BA$ en general.
Estrategia paso a paso
En ecuaciones matriciales, despeja $X$ multiplicando por la inversa por el lado correcto.
Para potencias, calcula $A2$, $A3$ y busca el patrón.
Trampas habituales
Escribir $|3A|=3|A|$ en una matriz $3\times3$ (es $27|A|$).
Pasar de $AX=B$ a $X=BA-1$ (lo correcto es $X=A-1B$).
Ejemplo resuelto
Si $|B|=-2$ (orden 3): $|3B|=27\cdot(-2)=-54$.
Preguntas de ejemplo
Intenta responder antes de abrir la solución.
Pregunta 1
Dificultad media≈ 18 min
(2 puntos) Se consideran las matrices $$A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & m \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$ a) (0,8 puntos) Determine para qué valores de $m$ la matriz $A-I$ es invertible.
b) (1,2 puntos) Para $m=3$, halle la matriz $X$ que cumple $AX-B=X$.
2 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) $A-I=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & m-1 \end{pmatrix}$, $|A-I|=m-1-3=m-4$. Es invertible si y solo si $m\ne4$.
b) Las potencias siguen el patrón $$An=\begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ (para $n=2$ da 1 y para $n=3$ da 3 en la esquina, como se ha calculado). Para $n=50$: $50\cdot\frac{49}{2}=1225$, luego $$A50=\begin{pmatrix} 1 & 50 & 1225 \\ 0 & 1 & 50 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
c) $|A|=1\ne0$ (triangular con unos en la diagonal), así que $A$ es invertible. Por adjuntos (o por Gauss): $$A-1=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Comprobación: $A\cdot A-1=I$. De $A\cdot X=A2+I$, multiplicando por la izquierda por $A-1$: $X=A-1\cdot A2+A-1=A+A-1$. $$X=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
Criterios de corrección
a) $A2$ correcta (0,35) y $A3$ correcta (0,4).
b) Patrón razonado de $An$ (0,4) y $A50$ correcta con el término 1225 (0,35).
c) Justificación de que $A$ es invertible y $A-1$ correcta (0,5).
c) Despeje correcto $X=A-1(A2+I)=A+A-1$, respetando el orden del producto (0,25), y resultado (0,25).
Un error de cálculo aislado que no simplifique el problema resta como máximo 0,25 del apartado.
Explicación
El término de la esquina es $1+2+\ldots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$, por eso aparece 1225 para $n=50$. En c) hay que multiplicar por $A-1$ por la IZQUIERDA; multiplicar por la derecha es el error más frecuente.
Pregunta 3
Dificultad media≈ 22 min
Dada la matriz
$$M=\begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & m & 1 \\ 0 & 1 & m \end{pmatrix}$$
dependiente del parámetro real $m$, se pide:
a) (1 punto) Determinar para qué valores de $m$ la matriz $M$ es invertible.
b) (0,75 puntos) Para $m=1$, calcular la inversa de $M$.
c) (0,75 puntos) Sea $B$ una matriz cuadrada de orden 3 con $|B|=-2$. Calcular $|3B|$, $|B-1|$ y $|Bt\cdot B3|$, donde $Bt$ es la traspuesta de $B$.
2,5 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) $|M|=m(m2-1)-1\cdot(m-0)+0=m3-2m=m(m2-2)$. $|M|=0$ ⇔ $m=0$, $m=\sqrt{2}$ o $m=-\sqrt{2}$. Por tanto, $M$ es invertible si y solo si $m\notin\{0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}\}$.
c) Propiedades de los determinantes (orden 3): $|3B|=33\cdot|B|=27\cdot(-2)=-54$. $|B-1|=\frac{1}{|B|}=-\frac{1}{2}$. $|Bt\cdot B3|=|Bt|\cdot|B|3=(-2)\cdot(-8)=16$.
Criterios de corrección
a) Cálculo correcto de $|M|$ (0,5) y conclusión con los tres valores excluidos (0,5).
b) Adjuntos y determinante correctos (0,5); inversa final (0,25).
c) Cada determinante correcto y justificado con la propiedad usada (0,25 cada uno).
Si en a) se olvida alguna raíz (por ejemplo, solo $m=0$), máximo 0,5 en a).
Explicación
Error típico en c): escribir $|3B|=3\cdot|B|$; en orden 3 cada una de las tres filas se multiplica por 3, de ahí $33$. Además, $|Bt|=|B|$ y el determinante de un producto es el producto de determinantes.