Cálculo de probabilidades con la binomial y la normal (tipificación).
Claves
Binomial $B(n, p)$: $P(X=k)=C(n, k)\cdot p$ᵏ·$(1-p)n-$ᵏ; media np.
Normal $N(\mu, \sigma)$: tipifica $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ y usa la tabla.
$P(Z<-a)=1-P(Z\le a)$.
Estrategia paso a paso
«Al menos» → complementario.
Trampas habituales
Olvidar que un valor bajo la media da $z$ negativa.
Ejemplo resuelto
$N(500, 8)$: $P(X<490)=P(Z<-1{,}25)=0{,}1056$.
Preguntas de ejemplo
Intenta responder antes de abrir la solución.
Pregunta 1
Dificultad media≈ 18 min
(2 puntos, competencial) La autonomía de la batería de un modelo de patinete eléctrico sigue una distribución normal de media 28 km y desviación típica 4 km.
a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un patinete elegido al azar recorra entre 25 y 33 km con una carga.
b) (1 punto) Halle la autonomía $k$ que superan el 90 % de los patinetes.
Valores de la $N(0,1)$: $P(Z\le0{,}75)=0{,}7734$; $P(Z\le1{,}25)=0{,}8944$; $P(Z\le1{,}28)=0{,}8997$; $P(Z\le1{,}29)=0{,}9015$.
2 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
Sea $X\sim N(28,4)$ y $Z=\frac{X-28}{4}\sim N(0,1)$.
a) $$P(25\le X\le33)=P\left(-0{,}75\le Z\le1{,}25\right)=P(Z\le1{,}25)-\left[1-P(Z\le0{,}75)\right]=0{,}8944-0{,}2266=0{,}6678$$
b) Buscamos $k$ con $P(X>k)=0{,}90$, es decir, $P(X\le k)=0{,}10$. Por simetría, $\frac{k-28}{4}=-z$ con $P(Z\le z)=0{,}90$; en la tabla, $z\approx1{,}28$ (el valor más próximo a 0,9000 es 0,8997). $$k=28-1{,}28\cdot4=22{,}88\text{ km}$$ (Interpolando en la tabla sale $\approx22{,}87$ km, también válido.)
Criterios de corrección
a) Tipificación (0,4), uso de la simetría (0,3) y resultado 0,6678 (0,3).
b) Planteamiento $P(X>k)=0{,}9$ (0,3), valor $z\approx1{,}28$ con su signo (0,4) y $k\approx22{,}88$ km (0,3).
Explicación
Para valores negativos de $Z$ se usa $P(Z\le-a)=1-P(Z\le a)$. En b) el 90 % «por encima» deja un 10 % por debajo, así que $k$ está a la izquierda de la media.
Pregunta 2
Dificultad media≈ 23 min
a) (1,25 puntos) El 5 % de las piezas que fabrica una máquina son defectuosas. Se eligen al azar 10 piezas (se supone independencia entre ellas). Calcular la probabilidad de que ninguna sea defectuosa y la probabilidad de que haya al menos dos defectuosas.
b) (1,25 puntos) El peso de los paquetes de café de una marca sigue una distribución normal de media 500 g y desviación típica 8 g. Calcular la probabilidad de que un paquete pese menos de 490 g y el peso $k$ tal que el 95 % de los paquetes pesa más de $k$ gramos.
(Valores de la $N(0, 1)$: $P(Z\le1{,}25)=0{,}8944$; $P(Z\le1{,}645)=0{,}95$.)
2,5 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) $X$ = «nº de piezas defectuosas» $\sim B(10;\ 0{,}05)$. $P(X=0)=0{,}9510\approx0{,}5987$. $P(X=1)=10\cdot0{,}05\cdot0{,}959\approx0{,}3151$. $P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)\approx1-0{,}5987-0{,}3151=0{,}0862$ (con más decimales, 0,0861).
b) $Y\sim N(500, 8)$. Tipificando $Z=\frac{Y-500}{8}$: $P(Y<490)=P(Z<-1{,}25)=1-P(Z\le1{,}25)=1-0{,}8944=0{,}1056$. Peso $k$ superado por el 95 %: $P(Y>k)=0{,}95$ → $P(Z<\frac{k-500}{8})=0{,}05$ → $\frac{k-500}{8}=-1{,}645$ → $k=500-13{,}16=486{,}84$ g.
Criterios de corrección
a) Identificar la binomial con sus parámetros (0,25), $P(X=0)$ (0,4) y $P(X\ge2)$ por el complementario (0,6).
b) Tipificación correcta (0,25), $P(Y<490)$ usando la simetría (0,5) y cálculo de $k=486{,}84$ g (0,5).
Se aceptan resultados redondeados a 3 o 4 decimales (0,086 en a)).
Explicación
«Al menos dos» se calcula mejor por el complementario: $1-P(0)-P(1)$. En la normal, un valor por debajo de la media da una $z$ negativa: se usa la simetría $P(Z<-1{,}25)=1-P(Z\le1{,}25)$.