examARnow Guías de exámenes

PAU · Matemáticas II · Geometría

Rectas y planos

Escribir ecuaciones de rectas y planos y estudiar sus posiciones relativas.

PAU — Prueba de Acceso a la Universidad (Selectividad), modelo de MadridMatemáticas IIPeso: 20 % · 1 pregunta
Practicar Rectas y planos gratis3 preguntas originales de esta destreza, con corrección al instante.

Qué evalúa

Ecuaciones y posiciones relativas de rectas y planos en el espacio.

Claves

Estrategia paso a paso

Trampas habituales

Ejemplo resuelto

Plano que contiene $r$ y es perpendicular a $\pi$: normal $=v\times n$.

Preguntas de ejemplo

Intenta responder antes de abrir la solución.

Pregunta 1

Dificultad media≈ 18 min

(2 puntos) Se consideran la recta $r\equiv\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{1}$ y el plano $\pi\equiv x+y-3z=k$.

a) (1 punto) Estudie la posición relativa de $r$ y $\pi$ según los valores de $k$.

b) (1 punto) Halle la ecuación del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.

2 puntos.

Ver solución modelo y criterios

Solución

a) $r$ pasa por $A(1,-1,0)$ con vector director $\vec{d}=(1,2,1)$; el normal de $\pi$ es $\vec{n}=(1,1,-3)$.
$\vec{d}\cdot\vec{n}=1+2-3=0$: la recta es paralela al plano o está contenida en él. Sustituyendo $A$: $1-1-0=0$.
- Si $k=0$: $A\in\pi$, la recta está contenida en el plano.
- Si $k\ne0$: la recta es paralela al plano (no tienen puntos comunes).

b) El plano buscado contiene a $A$ y a las direcciones $\vec{d}$ y $\vec{n}$. Su normal es
$$\vec{d}\times\vec{n}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&1\\1&1&-3\end{vmatrix}=(-7,4,-1)$$
$-7(x-1)+4(y+1)-z=0\iff 7x-4y+z-11=0$.

Criterios de corrección

  • a) Producto escalar $\vec{d}\cdot\vec{n}=0$ (0,4) y los dos casos según $k$ (0,3 + 0,3).
  • b) Normal como producto vectorial (0,5) y ecuación final (0,5).

Explicación

Si el director de la recta es perpendicular al normal del plano, la recta no corta al plano en un único punto: o es paralela o está dentro, y lo decide un punto de la recta.

Pregunta 2

Dificultad media≈ 22 min

Se consideran la recta $r\colon \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+2}{1}$ y el plano $\pi\colon x+ay+z=3$, donde $a$ es un parámetro real.

a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de $r$ y $\pi$ según los valores de $a$. En el caso en que sean paralelos, calcular la distancia entre $r$ y $\pi$.

b) (0,75 puntos) Para $a=1$, hallar el punto de intersección de $r$ y $\pi$.

c) (0,75 puntos) Para $a=1$, hallar la ecuación del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.

2,5 puntos.

Ver solución modelo y criterios

Solución

a) $r$ pasa por $P=(1, 0, -2)$ y tiene vector director $v=(2, -1, 1)$. El vector normal de $\pi$ es $n=(1, a, 1)$.
$v\cdot n=2-a+1=3-a$.
• Si $a\ne3$: $v\cdot n\ne0$, la recta corta al plano en un punto (secantes).
• Si $a=3$: $v\cdot n=0$. Como $P$ no está en $\pi$ ($1+0-2=-1\ne3$), $r$ es paralela a $\pi$.
Distancia ($a=3$): $d(r, \pi)=d(P, \pi)=\frac{|1+3\cdot0-2-3|}{\sqrt{1+9+1}}=\frac{4}{\sqrt{11}}=\frac{4\sqrt{11}}{11}\approx 1{,}21$ u.

b) Paramétricas de $r$: $(1+2t, -t, -2+t)$. Sustituyendo en $x+y+z=3$: $1+2t-t-2+t=3$ → $2t=4$ → $t=2$. Punto: $(5, -2, 0)$.

c) El plano buscado contiene a $P$ y a la dirección $v$ y, por ser perpendicular a $\pi$, también a la dirección $n=(1, 1, 1)$. Su normal es $v\times n=(2, -1, 1)\times(1, 1, 1)=(-2, -1, 3)$.
Ecuación: $-2(x-1)-(y-0)+3(z+2)=0$ → $2x+y-3z-8=0$.
Comprobación: $P=(1, 0, -2)$ da $2+0+6-8=0$.

Criterios de corrección

  • a) Estudio con $v\cdot n$ (0,4), distinción secante/paralela comprobando si $P$ está en $\pi$ (0,3) y distancia $\frac{4}{\sqrt{11}}$ (0,3).
  • b) Punto $(5, -2, 0)$ (0,75).
  • c) Normal como producto vectorial de $v$ y $n$ (0,5) y ecuación del plano (0,25).
  • Si en a) no se comprueba que $r$ no está contenida en $\pi$ para $a=3$, máximo 0,7.

Explicación

Si $v\cdot n=0$, la recta es paralela al plano o está contenida en él; hay que comprobar un punto de la recta para distinguir. Un plano perpendicular a $\pi$ contiene la dirección normal de $\pi$.

Pregunta 3

Dificultad difícil≈ 23 min

Se consideran las rectas $r\colon (x, y, z)=(1, 0, -1)+t\cdot(1, 2, 0)$ y $s\colon (x, y, z)=(0, 1, 2)+\lambda\cdot(1, 0, 1)$, con $t, \lambda\in\mathbb{R}$.

a) (1 punto) Estudiar su posición relativa y hallar el plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.

b) (0,75 puntos) Calcular la distancia entre $r$ y $s$.

c) (0,75 puntos) Hallar los puntos $R\in r$ y $S\in s$ tales que la recta $RS$ es perpendicular a $r$ y a $s$.

2,5 puntos.

Ver solución modelo y criterios

Solución

a) $P=(1, 0, -1)$, $u=(1, 2, 0)$ (recta $r$); $Q=(0, 1, 2)$, $w=(1, 0, 1)$ (recta $s$); $PQ=(-1, 1, 3)$.
$u$ y $w$ no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas.
$$[u,w,PQ]=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$
$=1\cdot(0-1)-2\cdot(3+1)+0=-9\ne0$ → las rectas se cruzan.
Plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$: normal $u\times w=(2\cdot1-0\cdot0, 0\cdot1-1\cdot1, 1\cdot0-2\cdot1)=(2, -1, -2)$, pasando por $P$: $2(x-1)-y-2(z+1)=0$ → $2x-y-2z-4=0$.

b) $d(r, s)=\dfrac{|[u, w, PQ]|}{|u\times w|}=\dfrac{9}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{9}{3}=3$ u.
Equivale a la distancia de $Q$ al plano hallado en a): $\frac{|0-1-4-4|}{3}=3$.

c) $R=(1+t, 2t, -1)$ y $S=(\lambda, 1, 2+\lambda)$; $RS=(\lambda-1-t, 1-2t, 3+\lambda)$.
$RS\cdot u=0$ → $\lambda-1-t+2-4t=0$ → $\lambda-5t+1=0$.
$RS\cdot w=0$ → $\lambda-1-t+3+\lambda=0$ → $2\lambda-t+2=0$.
De la segunda, $t=2\lambda+2$; sustituyendo: $\lambda-10\lambda-10+1=0$ → $\lambda=-1$ y $t=0$.
$R=(1, 0, -1)$ y $S=(-1, 1, 1)$. Comprobación: $|RS|=|(-2, 1, 2)|=3$, igual a la distancia de b).

Criterios de corrección

  • a) Justificación de que se cruzan con el producto mixto o por rangos (0,6) y plano correcto (0,4).
  • b) Fórmula de la distancia o método equivalente (0,5) y resultado 3 (0,25).
  • c) Planteamiento con dos condiciones de perpendicularidad (0,4) y puntos correctos (0,35).

Explicación

Dos rectas no paralelas se cortan si el producto mixto $[u, w, PQ]$ es 0, y se cruzan si no lo es. La distancia entre rectas que se cruzan es el volumen del paralelepípedo dividido por el área de su base.

Sigue practicando

Practicar Rectas y planos gratis3 preguntas originales de esta destreza, con corrección al instante.

Otras destrezas de Matemáticas II

Estructura completa del PAU · Guías de otros exámenes