Indeterminaciones, L'Hôpital, continuidad de funciones a trozos.
Claves
$\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$: L'Hôpital (derivar numerador y denominador por separado).
$\infty-\infty$ con raíces: multiplicar por el conjugado.
$1\infty$: $\lim fg=e\lim g\cdot(f-1)$.
$f$ continua en $a$ ⇔ existe $f(a)$ y los límites laterales coinciden con $f(a)$.
Estrategia paso a paso
Escribe siempre qué indeterminación aparece antes de resolverla.
Trampas habituales
Aplicar L'Hôpital sin indeterminación.
Ejemplo resuelto
lím $(1+2x)1/x$ con $x$ → $0+=e2$.
Preguntas de ejemplo
Intenta responder antes de abrir la solución.
Pregunta 1
Dificultad media≈ 18 min
(2 puntos) Calcule, justificando el método empleado:
a) (1 punto) $\displaystyle\limx\to0\frac{ex-1-x}{x2}$
b) (1 punto) $\displaystyle\limx\to+\infty\left(\frac{x+3}{x-1}\right)x$
2 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) Indeterminación $\frac{0}{0}$. Por la regla de L'Hôpital (dos veces, porque sigue siendo $\frac{0}{0}$): $$\limx\to0\frac{ex-1-x}{x2}=\limx\to0\frac{ex-1}{2x}=\limx\to0\frac{ex}{2}=\frac{1}{2}$$
b) Indeterminación $1\infty$. Con $\lim fg=e\lim g\,(f-1)$: $$\limx\to+\inftyx\left(\frac{x+3}{x-1}-1\right)=\limx\to+\infty\frac{4x}{x-1}=4\quad\Rightarrow\quad\limx\to+\infty\left(\frac{x+3}{x-1}\right)x=e4$$
Criterios de corrección
a) Identificar $\frac{0}{0}$ y aplicar L'Hôpital correctamente (0,6), resultado $\frac{1}{2}$ (0,4).
b) Identificar $1\infty$ (0,2), planteamiento con el número $e$ (0,5) y resultado $e4$ (0,3).
Explicación
Antes de aplicar L'Hôpital hay que comprobar la indeterminación en cada paso. Para $1\infty$ la fórmula $e\lim g(f-1)$ ahorra logaritmos.
Pregunta 2
Dificultad media≈ 20 min
a) (0,75 puntos) Calcular $\displaystyle\limx\to 0\frac{ex-1-x}{x2}$.
b) (0,75 puntos) Calcular $\displaystyle\limx\to +\infty\left(\sqrt{x2+3x}-x\right)$.
c) (1 punto) Se considera la función $g(x)=(1+2x)1/x$ si $x>0$, y $g(x)=x+k$ si $x\le0$. Determinar el valor de $k$ para que $g$ sea continua en $x=0$.
2,5 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) Indeterminación $\frac{0}{0}$. Por la regla de L'Hôpital: $\lim \frac{ex-1}{2x}$, de nuevo $\frac{0}{0}$; otra vez L'Hôpital: $\lim \frac{ex}{2}=\frac{1}{2}$.
b) Indeterminación $\infty-\infty$. Multiplicando y dividiendo por el conjugado: $\frac{x2+3x-x2}{\sqrt{x2+3x}+x}=\frac{3x}{\sqrt{x2+3x}+x}$. Dividiendo numerador y denominador entre $x$: $\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}$ → $\frac{3}{2}$.
c) $g(0)=0+k=k$ y $\limx\to 0-g(x)=k$. Por la derecha: indeterminación $1\infty$. $\limx\to 0+(1+2x)1/x=eL$, con $L=\lim \frac{1}{x}\cdot(1+2x-1)=\lim \frac{2x}{x}=2$. El límite vale $e2$. (También: $\ln g=\frac{\ln(1+2x)}{x}$ → 2 por L'Hôpital.) Continuidad en 0 ⇔ $k=e2$.
Criterios de corrección
a) Identificar la indeterminación y aplicar correctamente L'Hôpital dos veces (0,5); resultado $\frac{1}{2}$ (0,25).
b) Uso del conjugado (0,5) y resultado $\frac{3}{2}$ (0,25).
c) Límite lateral izquierdo y $g(0)$ (0,25); límite derecho $e2$ justificado (0,5); valor de $k$ (0,25).
Resultados sin justificación: 0 puntos.
Explicación
Tres indeterminaciones clásicas: $\frac{0}{0}$ (L'Hôpital), $\infty-\infty$ (conjugado) y $1\infty$ (número $e$). En c) la continuidad exige que coincidan los dos límites laterales y el valor $g(0)$; por eso $k=e2$.