Primitivas (partes, racionales), regla de Barrow, áreas y teorema fundamental del cálculo.
Claves
Por partes: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (elige $u$ = polinomio).
Racionales: factoriza el denominador y descompón en fracciones simples.
Barrow: $\intabf=F(b)-F(a)$. TFC: si $F(x)=\int0xf(t)\,dt$, entonces $F'(x)=f(x)$.
Estrategia paso a paso
Área entre curvas: halla los cortes y integra (superior − inferior).
Trampas habituales
Olvidar la constante $C$ o el valor absoluto en $\ln|x|$.
Dar un área negativa.
Ejemplo resuelto
Área entre $y=x$ e $y=x2-2x$: $\int03(3x-x2)\,dx=\frac{9}{2}$.
Preguntas de ejemplo
Intenta responder antes de abrir la solución.
Pregunta 1
Dificultad fácil≈ 18 min
(2 puntos) Se consideran las funciones $f(x)=x2-4$ y $g(x)=2x-1$.
a) (0,6 puntos) Halle los puntos de corte de las gráficas de $f$ y $g$.
b) (1,4 puntos) Calcule el área del recinto limitado por ambas gráficas.
2 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) $x2-4=2x-1\iff x2-2x-3=0\iff x=-1$ o $x=3$. Puntos: $(-1,-3)$ y $(3,5)$.
b) En $(-1,3)$ la recta está por encima (por ejemplo, en $x=0$: $g(0)=-1>f(0)=-4$): $$A=\int-13\left[(2x-1)-(x2-4)\right]dx=\int-13\left(-x2+2x+3\right)dx=\left[-\frac{x3}{3}+x2+3x\right]-13$$ $$=(-9+9+9)-\left(\frac{1}{3}+1-3\right)=9+\frac{5}{3}=\frac{32}{3}\approx10{,}67\text{ u}2$$
Criterios de corrección
a) Ecuación y abscisas (0,4), puntos completos (0,2).
b) Determinar qué función está por encima (0,3), integral bien planteada (0,4), primitiva (0,4) y resultado $\frac{32}{3}$ (0,3).
Explicación
El área entre dos curvas es la integral de «la de arriba menos la de abajo» entre los cortes. Si se resta al revés sale $-\frac{32}{3}$: el área es siempre positiva.
Pregunta 2
Dificultad media≈ 18 min
(2 puntos)
a) (1 punto) Calcule $\displaystyle\int x\ln x\,dx$.
b) (1 punto) Calcule $\displaystyle\int01\frac{x}{x2+1}\,dx$.
2 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) Por partes, con $u=\ln x$, $dv=x\,dx$ ($du=\frac{1}{x}dx$, $v=\frac{x2}{2}$): $$\int x\ln x\,dx=\frac{x2}{2}\ln x-\int\frac{x2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{x2}{2}\ln x-\frac{x2}{4}+C$$
b) Es casi inmediata del tipo $\frac{u'}{u}$: $\int\frac{x}{x2+1}dx=\frac{1}{2}\ln\left(x2+1\right)+C$. $$\int01\frac{x}{x2+1}dx=\frac{1}{2}\ln2-\frac{1}{2}\ln1=\frac{\ln2}{2}\approx0{,}347$$
Criterios de corrección
a) Elección correcta de $u$ y $dv$ (0,4), aplicación de la fórmula (0,3) y primitiva con la constante (0,3).
b) Primitiva logarítmica (0,6) y Barrow (0,4).
Explicación
Con $x\ln x$ hay que derivar el logaritmo ($u=\ln x$); al revés, la integral se complica. En b) basta multiplicar y dividir por 2 para tener la derivada del denominador.
Pregunta 3
Dificultad difícil≈ 23 min
a) (1 punto) Calcular $\displaystyle\int\frac{x+5}{x2+x-2}\,dx$.
b) (0,75 puntos) Calcular $\displaystyle\int0\pi/2x\cdot\cos x\,dx$.
c) (0,75 puntos) Sea $F(x)=\displaystyle\int0x(t2-4)\cdot et\,dt$. Hallar las abscisas de los extremos relativos de $F$, indicando si son máximos o mínimos.
2,5 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) $x2+x-2=(x-1)(x+2)$. Descomposición: $\frac{x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$, con $x+5=A(x+2)+B(x-1)$. $x=1$: $6=3A$ → $A=2$. $x=-2$: $3=-3B$ → $B=-1$. $\displaystyle\int\frac{x+5}{x2+x-2}\,dx=2\ln|x-1|-\ln|x+2|+C$.
b) Por partes: $u=x$, $dv=\cos x\,dx$ → $du=dx$, $v=\operatorname{sen} x$. $$\int x\cdot\cos x\,dx=x\cdot\operatorname{sen} x-\int\operatorname{sen} x\,dx=x\cdot\operatorname{sen} x+\cos x$$ $\left[x\cdot\operatorname{sen} x+\cos x\right]0\pi/2=\left(\frac{\pi}{2}\cdot1+0\right)-(0+1)=\frac{\pi}{2}-1$.
c) Por el teorema fundamental del cálculo (el integrando es continuo), $F'(x)=(x2-4)\cdot ex$. $F'(x)=0$ ⇔ $x=-2$ o $x=2$ ($ex>0$ siempre). Signo de $F'$: positivo en $(-\infty, -2)$, negativo en $(-2, 2)$, positivo en $(2, +\infty)$. $F$ tiene un máximo relativo en $x=-2$ y un mínimo relativo en $x=2$. Los valores no se piden, pero si se calculan: una primitiva del integrando es $(t2-2t-2)\cdot et$, así que $F(x)=(x2-2x-2)\cdot ex+2$; $F(-2)=2+6e-2\approx2{,}81$ y $F(2)=2-2e2\approx-12{,}78$.
Criterios de corrección
a) Factorización y descomposición en fracciones simples (0,5); coeficientes $A=2$, $B=-1$ (0,25); primitiva con valor absoluto y constante (0,25).
b) Integración por partes (0,5) y regla de Barrow con resultado $\frac{\pi}{2}-1$ (0,25).
c) Aplicación del teorema fundamental del cálculo (0,4) y clasificación de extremos justificada (0,35).
Explicación
En c) no hace falta calcular la integral: el teorema fundamental del cálculo da directamente $F'(x)=(x2-4)ex$. El signo de $F'$ solo depende de $x2-4$, porque $ex$ siempre es positivo.