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PAU · Matemáticas CCSS · Estadística (bloque D)

Inferencia: intervalos y tamaño muestral

Intervalos de confianza para la media y la proporción y tamaño muestral.

PAU — Prueba de Acceso a la Universidad (Selectividad), modelo de MadridMatemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales IIPeso: 2 preguntas · 5 puntos
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Qué evalúa

Intervalos de confianza para la media y la proporción, error y tamaño muestral mínimo.

Claves

Estrategia paso a paso

Trampas habituales

Ejemplo resuelto

$\sigma=30$, $E\le5$ al 95 %: $n\ge\left(\frac{1{,}96\cdot30}{5}\right)2=138{,}3\Rightarrow n=139$.

Preguntas de ejemplo

Intenta responder antes de abrir la solución.

Pregunta 1

Dificultad fácil≈ 23 min

(2,5 puntos) El gasto diario de los alumnos de un instituto en la cafetería sigue una distribución normal con desviación típica 1,50 €.

a) (1,3 puntos) En una muestra de 36 alumnos, el gasto medio ha sido de 3,20 €. Calcule un intervalo de confianza al 95 % para el gasto medio.

b) (1,2 puntos) Explique qué le pasa al error si, con la misma confianza, se cuadruplica el tamaño de la muestra, y calcule el tamaño mínimo para que el error sea como mucho de 0,20 €.

Valores de la $N(0,1)$: $z0{,025}=1{,}96$.

2,5 puntos.

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Solución

a) $E=z\alpha/2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot\frac{1{,}5}{6}=0{,}49$ €.
$$IC95\%(\mu)=(3{,}20-0{,}49;\ 3{,}20+0{,}49)=(2{,}71;\ 3{,}69)$$
(en euros)

b) El error es inversamente proporcional a $\sqrt{n}$: si $n$ se multiplica por 4, $\sqrt{n}$ se multiplica por 2 y el error se reduce a la mitad (0,245 €).
$E\le0{,}20\iff1{,}96\cdot\frac{1{,}5}{\sqrt{n}}\le0{,}20\iff\sqrt{n}\ge14{,}7\iff n\ge216{,}09$. Tamaño mínimo: 217 alumnos.

Criterios de corrección

  • a) Valor crítico (0,3), error (0,5) e intervalo (0,5).
  • b) Razonamiento sobre $\sqrt{n}$ (0,5) y $n=217$ redondeando hacia arriba (0,7).

Explicación

Para reducir el error a la mitad hay que cuadruplicar la muestra, no duplicarla, porque $n$ aparece bajo una raíz.

Pregunta 2

Dificultad media≈ 23 min

(2,5 puntos) En una muestra aleatoria de 500 votantes de entre 18 y 25 años, 180 dicen informarse sobre política sobre todo por redes sociales.

a) (1,2 puntos) Calcule un intervalo de confianza al 90 % para la proporción de jóvenes que se informan así.

b) (1,3 puntos) Tomando $\hat{p}=0{,}36$ como estimación, ¿qué tamaño muestral mínimo haría falta para que, con una confianza del 95 %, el error sea como mucho 0,03?

Valores de la $N(0,1)$: $z0{,05}=1{,}645$; $z0{,025}=1{,}96$.

2,5 puntos.

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Solución

a) $\hat{p}=\frac{180}{500}=0{,}36$; $z\alpha/2=1{,}645$.
$$E=1{,}645\sqrt{\frac{0{,}36\cdot0{,}64}{500}}\approx1{,}645\cdot0{,}02147\approx0{,}0353$$
$$IC90\%(p)=(0{,}3247;\ 0{,}3953)$$

b) $E=1{,}96\sqrt{\frac{0{,}36\cdot0{,}64}{n}}\le0{,}03\iff n\ge\frac{1{,}962\cdot0{,}36\cdot0{,}64}{0{,}032}=\frac{0{,}88510}{0{,}0009}\approx983{,}45$. Tamaño mínimo: 984 jóvenes.

Criterios de corrección

  • a) Proporción muestral y valor crítico (0,4), error (0,4) e intervalo (0,4).
  • b) Inecuación del error (0,6), despeje (0,4) y $n=984$ (0,3).

Explicación

El intervalo para una proporción usa $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ en lugar de $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. El tamaño se redondea hacia arriba aunque el decimal sea pequeño.

Pregunta 3

Dificultad media≈ 23 min

Pregunta 4 (2,5 puntos). Responda ÚNICAMENTE a una de las dos opciones. Si contesta a las dos, solo se corregirá la que aparezca en primer lugar.

4.1. El tiempo diario que los jóvenes de una ciudad dedican a las redes sociales sigue una distribución normal de desviación típica 30 minutos.

4.1.a) (1,2 puntos) En una muestra aleatoria de 64 jóvenes, el tiempo medio ha sido de 150 minutos. Calcule un intervalo de confianza al 90 % para el tiempo medio.

4.1.b) (1,3 puntos) Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para que, con un nivel de confianza del 95 %, el error de la estimación sea como mucho de 5 minutos.

4.2. En una encuesta a 400 jóvenes elegidos al azar, 120 declaran usar el transporte público a diario.

4.2.a) (1 punto) Calcule un intervalo de confianza al 95 % para la proporción de jóvenes que lo usan a diario.

4.2.b) (1,5 puntos) Suponga que la proporción real es $p=0{,}3$. En un grupo de 100 jóvenes elegidos al azar, calcule, aproximando por una normal, la probabilidad de que al menos 35 usen el transporte público a diario.

Valores de la $N(0,1)$: $z0{,05}=1{,}645$ (es decir, $P(Z\le1{,}645)=0{,}95$); $z0{,025}=1{,}96$; $P(Z\le0{,}98)=0{,}8365$.

2,5 puntos.

Ver solución modelo y criterios

Solución

Opción 4.1

4.1.a) $1-\alpha=0{,}90\Rightarrow z\alpha/2=1{,}645$. Error: $E=z\alpha/2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}645\cdot\frac{30}{8}\approx6{,}17$ min.
$$IC90\%(\mu)=\left(150-6{,}17;\ 150+6{,}17\right)=(143{,}83;\ 156{,}17)\text{ minutos}$$

4.1.b) $1-\alpha=0{,}95\Rightarrow z\alpha/2=1{,}96$. $E=1{,}96\cdot\frac{30}{\sqrt{n}}\le5\iff\sqrt{n}\ge\frac{1{,}96\cdot30}{5}=11{,}76\iff n\ge138{,}30$. Tamaño mínimo: 139 jóvenes.

Opción 4.2

4.2.a) $\hat{p}=\frac{120}{400}=0{,}3$; $z\alpha/2=1{,}96$.
$$E=1{,}96\sqrt{\frac{0{,}3\cdot0{,}7}{400}}\approx1{,}96\cdot0{,}0229\approx0{,}0449$$
$$IC95\%(p)=(0{,}2551;\ 0{,}3449)$$

4.2.b) $X$ = «número de jóvenes del grupo que lo usan» $\sim B(100;\,0{,}3)$. Como $np=30\ge5$ y $n(1-p)=70\ge5$, se aproxima por $N\left(30,\sqrt{21}\right)$, con $\sqrt{21}\approx4{,}58$.
Con la corrección por continuidad (Yates):
$$P(X\ge35)\approx P(X'\ge34{,}5)=P\left(Z\ge\frac{34{,}5-30}{4{,}58}\right)=P(Z\ge0{,}98)=1-0{,}8365=0{,}1635$$

Criterios de corrección

  • 4.1.a) Valor crítico (0,2), error (0,5) e intervalo (0,5). 4.1.b) Valor crítico (0,3), inecuación del error (0,5) y $n=139$ redondeando hacia arriba (0,5).
  • 4.2.a) Valor crítico (0,3), error (0,4) e intervalo (0,3). 4.2.b) Variable y distribución binomial (0,3), aproximación normal justificada (0,3), corrección por continuidad (0,4) y probabilidad 0,1635 (0,5).
  • Si no se aplica la corrección por continuidad, se penaliza (no se dan los 0,4 de ese criterio).
  • Solo se corrige la primera opción que aparezca.

Explicación

El tamaño muestral se redondea SIEMPRE hacia arriba (138,3 → 139). En Madrid se penaliza no aplicar la corrección por continuidad al pasar de binomial a normal: «al menos 35» empieza en 34,5.

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