PAU · Matemáticas CCSS · Números y Álgebra (bloques A y C)
Programación lineal
Optimizar una función lineal sobre una región definida por inecuaciones.
PAU — Prueba de Acceso a la Universidad (Selectividad), modelo de MadridMatemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales IIPeso: ≈ 1 pregunta · 2,5 puntos
Plantear restricciones, región factible, vértices y óptimo de una función objetivo.
Claves
El óptimo de una región acotada está en un vértice (o en todo un lado si dos vértices empatan).
Los vértices se obtienen resolviendo sistemas de dos rectas frontera.
Estrategia paso a paso
Variables → restricciones → región → vértices → evaluar → responder en contexto.
Trampas habituales
Olvidar comprobar que un punto de corte cumple todas las restricciones.
Ejemplo resuelto
Máx. $12x+15y$ con $2x+y\le100$, $x+2y\le80$: el vértice $(40,20)$ da 780.
Preguntas de ejemplo
Intenta responder antes de abrir la solución.
Pregunta 1
Dificultad media≈ 23 min
(2,5 puntos, competencial) Una pastelería elabora cada día $x$ tartas de chocolate e $y$ tartas de queso. Cada tarta de chocolate ocupa 2 horas de horno y cada una de queso 1 hora, y el horno se puede usar 15 horas al día. En la cámara frigorífica caben como mucho 9 tartas. Por los encargos fijos, deben hacerse al menos 2 de chocolate y 1 de queso. El beneficio es de 40 € por tarta de chocolate y 30 € por tarta de queso.
a) (1 punto) Plantee el problema, represente la región factible y obtenga sus vértices.
b) (0,8 puntos) Calcule cuántas tartas de cada tipo maximizan el beneficio y cuál es ese beneficio.
c) (0,7 puntos) Si el beneficio de la tarta de queso subiera a 40 €, ¿cuántas soluciones óptimas habría? Indíquelas (con números enteros de tartas).
2,5 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) $$\max\ B(x,y)=40x+30y\quad\text{s.a.}\quad\begin{cases} 2x+y\le15 \\ x+y\le9 \\ x\ge2,\ y\ge1 \end{cases}$$ Vértices: $(2,1)$; $(7,1)$ (corte de $y=1$ con $2x+y=15$); $(6,3)$ (corte de $2x+y=15$ con $x+y=9$); $(2,7)$ (corte de $x=2$ con $x+y=9$).
b) $B(2,1)=110$, $B(7,1)=310$, $B(6,3)=330$, $B(2,7)=290$. Máximo: 6 de chocolate y 3 de queso, con 330 €.
c) Con $B=40x+40y$: $B(6,3)=B(2,7)=360$ y los demás vértices dan menos. El máximo se alcanza en todo el segmento que une $(6,3)$ y $(2,7)$, sobre la recta $x+y=9$. Con números enteros: $(2,7)$, $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$ y $(6,3)$, cinco soluciones óptimas con 360 €.
Criterios de corrección
a) Variables y restricciones (0,5), región y vértices (0,5).
b) Evaluación en los vértices (0,4) y solución contextualizada (0,4).
c) Detectar que la función objetivo es paralela a $x+y=9$ (0,4) y dar las soluciones enteras (0,3).
Explicación
Cuando la función objetivo es paralela a un lado de la región, los dos vértices de ese lado empatan y todo el segmento es óptimo. En un contexto de tartas solo valen los puntos de coordenadas enteras.
Pregunta 2
Dificultad media≈ 23 min
Pregunta 1 (2,5 puntos, competencial, sin opcionalidad). La asociación de familias de un instituto prepara cestas solidarias de dos tipos para una campaña de recogida. Cada cesta de tipo A lleva 2 kg de arroz y 1 kg de legumbres; cada cesta de tipo B lleva 1 kg de arroz y 2 kg de legumbres. Disponen de 100 kg de arroz y 80 kg de legumbres, y quieren preparar al menos 10 cestas de cada tipo. Un supermercado del barrio comprará las cestas para donarlas: paga 12 € por cada cesta A y 15 € por cada cesta B.
a) (1 punto) Plantee el problema de programación lineal, represente la región factible y calcule sus vértices.
b) (0,8 puntos) ¿Cuántas cestas de cada tipo deben prepararse para que la recaudación sea máxima? ¿Cuál es esa recaudación?
c) (0,7 puntos) Con la recaudación máxima compran 90 unidades de material escolar: cuadernos a 2 €, libros a 10 € y calculadoras a 24 €, gastando todo el dinero. Si el número de cuadernos es el triple que el de calculadoras, plantee y resuelva un sistema para saber cuántas unidades compran de cada producto.
2,5 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) Sean $x$ = número de cestas A e $y$ = número de cestas B. $$\max\ f(x,y)=12x+15y\quad\text{s.a.}\quad\begin{cases} 2x+y\le100 & \text{(arroz)} \\ x+2y\le80 & \text{(legumbres)} \\ x\ge10,\ y\ge10 \end{cases}$$ La región factible es el cuadrilátero limitado por esas cuatro rectas. Vértices: - $x=10$, $y=10$: $(10,10)$. - $y=10$ con $2x+y=100$: $(45,10)$ (cumple $45+20=65\le80$). - $2x+y=100$ con $x+2y=80$: $(40,20)$. - $x=10$ con $x+2y=80$: $(10,35)$ (cumple $20+35=55\le100$).
b) $f(10,10)=270$, $f(45,10)=690$, $f(40,20)=780$, $f(10,35)=645$. El máximo está en $(40,20)$: 40 cestas A y 20 cestas B, con una recaudación de 780 €.
c) Sean $c$, $l$ y $k$ los cuadernos, libros y calculadoras: $$\begin{cases} c+l+k=90 \\ 2c+10l+24k=780 \\ c=3k \end{cases}$$ Sustituyendo $c=3k$: $l=90-4k$ y $6k+10(90-4k)+24k=780\Rightarrow-10k=-120\Rightarrow k=12$. Luego $c=36$, $l=42$. (El determinante de la matriz de coeficientes es $10\ne0$: sistema compatible determinado.) Compran 36 cuadernos, 42 libros y 12 calculadoras.
Criterios de corrección
a) Definición de las variables (0,1), restricciones y función objetivo (0,4), región factible (0,2) y vértices (0,3).
b) Evaluación de la función objetivo en los vértices (0,4) y solución contextualizada: 40 A, 20 B, 780 € (0,4).
c) Planteamiento del sistema (0,4) y solución 36, 42, 12 (0,3).
Explicación
El óptimo de un problema de programación lineal con región acotada está en un vértice: basta evaluar la función objetivo en todos. En c), la condición «el triple» se escribe $c=3k$ (no $3c=k$), el error más frecuente.