Pregunta 1
(2,5 puntos)
a) (1 punto) Halle el valor de $a>0$ para el que $\displaystyle\int0a(2x+1)\,dx=6$.
b) (1,5 puntos) Calcule el área del recinto limitado por las gráficas de $f(x)=x2$ y $g(x)=2x$.
2,5 puntos.
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Solución
a) $\int0a(2x+1)\,dx=\left[x2+x\right]0a=a2+a=6\iff a2+a-6=0\iff a=2$ o $a=-3$. Como $a>0$, $a=2$.
b) Cortes: $x2=2x\iff x(x-2)=0\iff x=0$ o $x=2$. En $(0,2)$, $g(x)\ge f(x)$ (por ejemplo, $g(1)=2>f(1)=1$):
$$A=\int02\left(2x-x2\right)dx=\left[x2-\frac{x3}{3}\right]02=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}\text{ u}2$$
Criterios de corrección
- a) Primitiva y Barrow (0,5), ecuación y descarte de $a=-3$ (0,5).
- b) Puntos de corte (0,4), integral bien planteada (0,6) y área $\frac{4}{3}$ (0,5).
Explicación
En a) la integral definida es un número que depende de $a$; el enunciado pide $a>0$ y por eso se descarta $-3$. En b) se integra «la de arriba menos la de abajo».