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PAU · Matemáticas CCSS · Estadística (bloque D)

Probabilidad

Probabilidad condicionada, total y Bayes, con tablas y árboles.

PAU — Prueba de Acceso a la Universidad (Selectividad), modelo de MadridMatemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales IIPeso: 2 preguntas · 5 puntos
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Qué evalúa

Probabilidad condicionada, independencia, tablas de contingencia, probabilidad total y Bayes.

Claves

Estrategia paso a paso

Trampas habituales

Ejemplo resuelto

$P(D)=0{,}45$, $P(M)=0{,}3$, $P(D\cap M)=0{,}15$: $P(\overline{D}\cap\overline{M})=0{,}4$.

Preguntas de ejemplo

Intenta responder antes de abrir la solución.

Pregunta 1

Dificultad fácil≈ 23 min
Alumnado de 2.º de Bachillerato por modalidad
CienciasCiencias SocialesHumanidades
Chicas405020
Chicos453510

(2,5 puntos) En un instituto hay 200 alumnos de 2.º de Bachillerato, repartidos por modalidad como indica la tabla. Se elige un alumno al azar.

a) (0,8 puntos) Calcule la probabilidad de que sea chica y curse Ciencias Sociales, y la de que curse Humanidades.

b) (1 punto) Si cursa Ciencias, ¿cuál es la probabilidad de que sea chico?

c) (0,7 puntos) ¿Son independientes los sucesos «ser chica» y «cursar Ciencias Sociales»? Razónelo.

2,5 puntos.

Ver solución modelo y criterios

Solución

Totales: 110 chicas y 90 chicos; 85 en Ciencias, 85 en Ciencias Sociales y 30 en Humanidades. Sucesos: $F$ = «chica», $S$ = «Ciencias Sociales», $C$ = «Ciencias», $H$ = «Humanidades».

a) $P(F\cap S)=\frac{50}{200}=0{,}25$; $P(H)=\frac{20+10}{200}=0{,}15$.

b) $P(\overline{F}\mid C)=\frac{45}{85}=\frac{9}{17}\approx0{,}5294$.

c) $P(F)=\frac{110}{200}=0{,}55$ y $P(S)=\frac{85}{200}=0{,}425$. $P(F)\cdot P(S)=0{,}23375\ne0{,}25=P(F\cap S)$: no son independientes.

Criterios de corrección

  • a) Cada probabilidad (0,4 + 0,4).
  • b) Planteamiento como condicionada (0,5) y resultado (0,5).
  • c) Comparación $P(F)P(S)$ con $P(F\cap S)$ (0,4) y conclusión (0,3).
  • Cada suceso no definido resta 0,1.

Explicación

En una tabla de contingencia, una probabilidad condicionada se calcula dentro de la fila o columna de la condición: $\frac{45}{85}$, no $\frac{45}{200}$.

Pregunta 2

Dificultad fácil≈ 23 min

Pregunta 3 (2,5 puntos). Responda ÚNICAMENTE a una de las dos opciones. Si contesta a las dos, solo se corregirá la que aparezca en primer lugar.

3.1. En un instituto, el 45 % del alumnado practica algún deporte en un club, el 30 % estudia música en un conservatorio y el 15 % hace ambas cosas.

3.1.a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un alumno elegido al azar no practique deporte ni estudie música.

3.1.b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que estudie música, sabiendo que no practica deporte.

3.1.c) (0,5 puntos) Razone si los sucesos «practicar deporte» y «estudiar música» son independientes y si son incompatibles.

3.2. Una tienda en línea reparte sus pedidos con tres empresas: el 50 % con la empresa A, el 30 % con la B y el 20 % con la C. Llegan con retraso el 4 % de los pedidos de A, el 6 % de los de B y el 10 % de los de C.

3.2.a) (1,3 puntos) Calcule la probabilidad de que un pedido llegue con retraso.

3.2.b) (1,2 puntos) Un pedido ha llegado a tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya repartido la empresa C?

2,5 puntos.

Ver solución modelo y criterios

Solución

Opción 3.1

Sucesos: $D$ = «practica deporte», $M$ = «estudia música». $P(D)=0{,}45$, $P(M)=0{,}30$, $P(D\cap M)=0{,}15$.

3.1.a) $P(D\cup M)=0{,}45+0{,}30-0{,}15=0{,}60$, así que $P(\overline{D}\cap\overline{M})=1-P(D\cup M)=0{,}40$.

3.1.b) $P(M\mid\overline{D})=\frac{P(M\cap\overline{D})}{P(\overline{D})}=\frac{0{,}30-0{,}15}{0{,}55}=\frac{0{,}15}{0{,}55}\approx0{,}2727$.

3.1.c) No son incompatibles, porque $P(D\cap M)=0{,}15\ne0$. No son independientes, porque $P(D)\cdot P(M)=0{,}135\ne0{,}15=P(D\cap M)$.

Opción 3.2

Sucesos: $A$, $B$, $C$ = «lo reparte la empresa A, B, C»; $R$ = «llega con retraso».

3.2.a) Probabilidad total: $P(R)=0{,}5\cdot0{,}04+0{,}3\cdot0{,}06+0{,}2\cdot0{,}10=0{,}02+0{,}018+0{,}02=0{,}058$.

3.2.b) Bayes: $P(C\mid\overline{R})=\frac{P(C)\,P(\overline{R}\mid C)}{P(\overline{R})}=\frac{0{,}2\cdot0{,}9}{1-0{,}058}=\frac{0{,}18}{0{,}942}\approx0{,}1911$.

Criterios de corrección

  • 3.1.a) Planteamiento (0,5) y resultado 0,40 (0,5). 3.1.b) Planteamiento (0,5) y resultado $\approx0{,}273$ (0,5). 3.1.c) Compatibilidad (0,2) y dependencia (0,3).
  • 3.2.a) Probabilidad total (0,7) y resultado 0,058 (0,6). 3.2.b) Bayes con el suceso contrario (0,7) y resultado $\approx0{,}191$ (0,5).
  • Cada suceso no definido resta 0,1 en la opción.
  • Solo se corrige la primera opción que aparezca.

Explicación

En 3.1 todo sale de la fórmula de la unión y de la definición de probabilidad condicionada. En 3.2 b) el dato es «a tiempo»: hay que usar $P(\overline{R}\mid C)=0{,}9$ y $P(\overline{R})=0{,}942$.

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