Pregunta 1
(2,5 puntos) El 20 % de los usuarios de una aplicación para aprender idiomas la abre todos los días.
a) (1 punto) Se eligen 8 usuarios al azar. Calcule la probabilidad de que exactamente 2 la abran a diario y la de que al menos uno lo haga.
b) (1,5 puntos) Se eligen 400 usuarios. Aproximando por una distribución normal, calcule la probabilidad de que la abran a diario como mucho 70.
Valores de la $N(0,1)$: $P(Z\le1{,}18)=0{,}8810$; $P(Z\le1{,}19)=0{,}8830$.
2,5 puntos.
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Solución
a) $X\sim B(8;\,0{,}2)$.
$$P(X=2)=\binom{8}{2}0{,}22\cdot0{,}86=28\cdot0{,}04\cdot0{,}262144\approx0{,}2936$$
$$P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}88\approx1-0{,}1678=0{,}8322$$
b) $Y\sim B(400;\,0{,}2)$, con $np=80\ge5$ y $n(1-p)=320\ge5$: se aproxima por $N\left(80,\sqrt{400\cdot0{,}2\cdot0{,}8}\right)=N(80,8)$.
Con la corrección por continuidad:
$$P(Y\le70)\approx P(Y'\le70{,}5)=P\left(Z\le\frac{70{,}5-80}{8}\right)=P(Z\le-1{,}19)=1-0{,}8830=0{,}1170$$
($-1{,}1875$ se redondea a $-1{,}19$; interpolando entre 1,18 y 1,19 sale $\approx0{,}1175$, también válido.)
Criterios de corrección
- a) Identificar la binomial (0,2), $P(X=2)$ (0,4) y $P(X\ge1)$ por el complementario (0,4).
- b) Distribución y aproximación justificada (0,5), corrección por continuidad 70,5 (0,4), tipificación (0,3) y probabilidad $\approx0{,}117$ (0,3).
Explicación
«Al menos uno» se calcula casi siempre por el complementario. Al aproximar, «como mucho 70» incluye el 70, así que el límite es 70,5.