PAU · Matemáticas CCSS · Números y Álgebra (bloques A y C)

Matrices y sistemas

Matrices, inversa, ecuaciones matriciales y sistemas con parámetro.

PAU — Prueba de Acceso a la Universidad (Selectividad), modelo de MadridMatemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales IIPeso: ≈ 1 pregunta · 2,5 puntos

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Qué evalúa

Operaciones, inversa, ecuaciones matriciales y sistemas con parámetro (Rouché, Cramer).

Claves

$A$ es invertible si y solo si $|A|\ne0$.
Rouché: SCD si $\operatorname{rg}M=\operatorname{rg}M'=n$; SCI si $\operatorname{rg}M=\operatorname{rg}M'<n$; SI si los rangos son distintos.

Estrategia paso a paso

Despeja $X$ antes de operar y multiplica por la inversa por el lado correcto.

Trampas habituales

Escribir $A-1$ en lugar de $A-I$.

Ejemplo resuelto

$XA=B\Rightarrow X=BA^-1$.

Preguntas de ejemplo

Intenta responder antes de abrir la solución.

Pregunta 1

Dificultad fácil≈ 23 min

(2,5 puntos) Se consideran las matrices
$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$$
a) (1 punto) Justifique que $A$ es invertible y calcule $A^-1$.

b) (1,5 puntos) Halle la matriz $X$ que verifica $XA+2I=B$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.

2,5 puntos.

Ver solución modelo y criterios

Solución

a) $|A|=3-2=1\ne0$, luego $A$ es invertible. $A^-1=\frac{1}{|A|}\left(\operatorname{Adj}A\right)^t=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. Comprobación: $A\cdot A^-1=I$.

b) $XA=B-2I=\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$. Multiplicando por $A^-1$ por la DERECHA:
$$X=(B-2I)A^-1=\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Comprobación: $XA+2I=\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=B$.

Criterios de corrección

a) Determinante no nulo (0,4) e inversa correcta (0,6).
b) Despeje $X=(B-2I)A^-1$ con la inversa a la derecha (0,7), cálculo de $B-2I$ (0,3) y resultado (0,5).

Explicación

Si $X$ está a la izquierda de $A$ ($XA$), la inversa se multiplica por la derecha. Poner $A^-1(B-2I)$ da otra matriz y se considera un error de planteamiento.

Pregunta 2

Dificultad media≈ 23 min

(2,5 puntos) Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro real $m$:
$$\begin{cases} x+y+z=3 \\ 2x-y+z=2 \\ 3x+mz=7-m \end{cases}$$
a) (1,5 puntos) Discuta el sistema según los valores de $m$.

b) (1 punto) Resuélvalo para $m=2$.

2,5 puntos.

Ver solución modelo y criterios

Solución

a) $|M|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & m \end{vmatrix}=-m-(2m-3)+3=6-3m$, que se anula solo en $m=2$.
- Si $m\ne2$: $\operatorname{rg}M=\operatorname{rg}M'=3$: compatible determinado.
- Si $m=2$: la tercera ecuación es $3x+2z=5$, que es la suma de las dos primeras ($3x+0y+2z=3+2$). $\operatorname{rg}M=\operatorname{rg}M'=2<3$: compatible indeterminado.

b) Para $m=2$ (se acepta cualquier parametrización equivalente): $x+y+z=3$ y $2x-y+z=2$. Con $z=\lambda$: sumando, $3x=5-2\lambda$, así que $x=\frac{5-2\lambda}{3}$ e $y=3-\lambda-x=\frac{4-\lambda}{3}$.
$$(x,y,z)=\left(\frac{5-2\lambda}{3},\ \frac{4-\lambda}{3},\ \lambda\right),\quad\lambda\in\mathbb{R}$$

Criterios de corrección

a) Determinante (0,5), caso $m\ne2$ (0,4) y caso $m=2$ con rangos (0,6).
b) Reducción a dos ecuaciones (0,3) y solución paramétrica (0,7).

Explicación

No todos los parámetros dan un caso incompatible: aquí el único valor crítico hace que la tercera ecuación sea suma de las otras dos, también en los términos independientes.

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