Dominio, asíntotas, continuidad, monotonía, extremos, curvatura y optimización en contexto.
Claves
Racional con grado del numerador = grado del denominador + 1: asíntota oblicua.
$f'>0$: creciente; $f'<0$: decreciente; $f''$ decide la curvatura.
Estrategia paso a paso
Haz una tabla de signos de $f'$ con los ceros y los puntos fuera del dominio.
Trampas habituales
Dar solo la abscisa de un extremo: hay que dar el punto.
Ejemplo resuelto
$f(x)=\frac{2x2}{x-1}$: AV $x=1$, oblicua $y=2x+2$.
Preguntas de ejemplo
Intenta responder antes de abrir la solución.
Pregunta 1
Dificultad fácil≈ 23 min
(2,5 puntos) Se considera la función $f(x)=x3-6x2+9x+1$.
a) (1,5 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de $f$.
b) (1 punto) Estudie la curvatura de $f$, halle su punto de inflexión y la ecuación de la recta tangente a la gráfica en ese punto.
2,5 puntos.
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Solución
a) $f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)$, que se anula en $x=1$ y $x=3$. - $f'>0$ en $(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$: creciente. $f'<0$ en $(1,3)$: decreciente. - Máximo relativo en $(1,5)$ y mínimo relativo en $(3,1)$.
b) $f''(x)=6x-12$: $f''<0$ en $(-\infty,2)$ (cóncava hacia abajo, $\cap$) y $f''>0$ en $(2,+\infty)$ (cóncava hacia arriba, $\cup$). Punto de inflexión en $(2,3)$. Tangente: $f'(2)=12-24+9=-3$, así que $y-3=-3(x-2)\iff y=-3x+9$.
Criterios de corrección
a) Derivada (0,5), intervalos (0,5) y extremos con su ordenada (0,5).
b) Segunda derivada y curvatura (0,4), punto de inflexión (0,3) y tangente (0,3).
Explicación
Los extremos se dan como puntos (abscisa y ordenada). En la curvatura se acepta cualquier convenio (cóncava/convexa) si se explica con $\cap$ y $\cup$ o con el signo de $f''$.
Pregunta 2
Dificultad media≈ 23 min
(2,5 puntos, competencial) Una sala de conciertos estima que, si la entrada cuesta $x$ euros ($1\le x\le8$), el beneficio de una sesión, en cientos de euros, es $$B(x)=-2x3+27x2-84x+100$$ a) (1,5 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $B$ en $[1,8]$ y sus extremos relativos en $(1,8)$.
b) (1 punto) ¿Qué precio da el máximo beneficio y cuál es? ¿Con qué precio el beneficio es mínimo?
2,5 puntos.
Ver solución modelo y criterios
Solución
a) $B'(x)=-6x2+54x-84=-6(x2-9x+14)=-6(x-2)(x-7)$, que se anula en $x=2$ y $x=7$. - $B'<0$ en $(1,2)$ y en $(7,8)$: decreciente. $B'>0$ en $(2,7)$: creciente. - Mínimo relativo en $x=2$: $B(2)=24$. Máximo relativo en $x=7$: $B(7)=149$.
b) Se comparan los extremos relativos con los del intervalo: $B(1)=41$, $B(2)=24$, $B(7)=149$, $B(8)=132$. El máximo beneficio se obtiene con entradas a 7 €: 149 cientos de euros, es decir, 14 900 €. El mínimo, con entradas a 2 €: 2 400 €.
Criterios de corrección
a) Derivada y factorización (0,5), intervalos en $[1,8]$ (0,5) y extremos relativos (0,5).
b) Comparación con $B(1)$ y $B(8)$ (0,5) y respuesta contextualizada con unidades (0,5).
Explicación
En un intervalo cerrado, los extremos absolutos pueden estar en los bordes: siempre hay que evaluar $B(1)$ y $B(8)$. Y no olvidar que $B$ está en cientos de euros.
Pregunta 3
Dificultad media≈ 23 min
Pregunta 2 (2,5 puntos). Responda ÚNICAMENTE a una de las dos opciones. Si contesta a las dos, solo se corregirá la que aparezca en primer lugar.
2.1. Se considera la función real de variable real $f(x)=\dfrac{2x2}{x-1}$.
2.1.a) (1,5 puntos) Determine el dominio y las asíntotas de $f$.
2.1.b) (1 punto) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de $f$.
2.2. Se considera la función $$f(x)=\begin{cases} x2+ax & \text{si } x\le2 \\ \dfrac{b}{x} & \text{si } x>2 \end{cases}$$ 2.2.a) (1,2 puntos) Determine los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea continua y derivable en $x=2$.
2.2.b) (1,3 puntos) Para $a=-3$, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $y=x2-3x$, el eje de abscisas y las rectas $x=1$ y $x=2$.
2,5 puntos.
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Solución
Opción 2.1
2.1.a) Dominio: $\mathbb{R}-\{1\}$. - Asíntota vertical $x=1$: $\limx\to1+f(x)=+\infty$ y $\limx\to1-f(x)=-\infty$. - Horizontales: no hay, porque $\limx\to\pm\inftyf(x)=\pm\infty$ (el grado del numerador es mayor). - Oblicua $y=mx+n$: $m=\limx\to\infty\frac{f(x)}{x}=\lim\frac{2x2}{x2-x}=2$; $n=\limx\to\infty\left(\frac{2x2}{x-1}-2x\right)=\lim\frac{2x}{x-1}=2$. Asíntota oblicua $y=2x+2$.
2.1.b) $f'(x)=\frac{4x(x-1)-2x2}{(x-1)2}=\frac{2x(x-2)}{(x-1)2}$. Se anula en $x=0$ y $x=2$; el denominador es siempre positivo. - Creciente en $(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$; decreciente en $(0,1)\cup(1,2)$. - Máximo relativo en $(0,0)$ y mínimo relativo en $(2,8)$.
Opción 2.2
2.2.a) Continuidad en $x=2$: $4+2a=\frac{b}{2}$. Derivabilidad: $f'(2-)=4+a$ y $f'(2+)=-\frac{b}{4}$, luego $4+a=-\frac{b}{4}$. De la segunda, $b=-16-4a$; en la primera, $4+2a=-8-2a\Rightarrow a=-3$ y $b=-4$.
2.2.b) $y=x2-3x=x(x-3)$ es negativa en $(1,2)$, así que $$A=\int12\left(3x-x2\right)dx=\left[\frac{3x2}{2}-\frac{x3}{3}\right]12=\left(6-\frac{8}{3}\right)-\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{10}{3}-\frac{7}{6}=\frac{13}{6}\approx2{,}17\text{ u}2$$
Criterios de corrección
2.1.a) Dominio (0,2), asíntota vertical con límites laterales (0,4), no hay horizontales (0,4), oblicua $y=2x+2$ (0,5).
2.1.b) Derivada (0,5), intervalos (0,3) y extremos $(0,0)$ máximo y $(2,8)$ mínimo (0,2).
2.2.a) Condición de continuidad (0,4), de derivabilidad (0,5) y valores $a=-3$, $b=-4$ (0,3).
2.2.b) Signo de la función en el intervalo (0,3), integral bien planteada (0,5) y área $\frac{13}{6}$ (0,5). No se penaliza no escribir las unidades de área.
Solo se corrige la primera opción que aparezca.
Explicación
Una racional con el numerador de un grado más que el denominador tiene asíntota oblicua y no horizontal. En un área, si la función es negativa se integra $-f$ (o se toma el valor absoluto).